gf1:binaer2

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gf1:binaer2 [2022/08/31 22:11] – marrocgf1:binaer2 [2024/08/15 11:15] (aktuell) – marroc
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-====== Vom binären ins dezimale Zahlensystem umrechnen und umgekehrt ====== +====== Zwischen Zahlensystemen umrechnen ======
-In diesem Kapitel geht es vor allem darum, zwischen den beiden Zahlensystemen hin und her zu wechseln und genau zu verstehen, warum dies wie genau funktioniert. Es werden verschiedene Vorgehen beschrieben, sodass Sie einen guten eigenen Weg finden, diese Umrechnung (in beide Richtungen) vorzunehmen.+
  
-==== Vom binären ins dezimale Zahlensystem umrechnen ==== +Wie bereits im obigen Spiel kann jede Dezimalzahl notiert werden als Summe von Zehnerpotenzen und jede Binärzahl als Summe von Zweierpotenzen. \\  
-{{ :gf1:zehnertafel_dezimalzahl.png?nolink&350|}} +\\  
-Wenn man sich fragt, wie man eine binäre Zahl in eine dezimale umrechnen kann, muss man sich zunächst vor Augen führen, wie wir den Wert einer dezimalen Zahl definieren. +Beispiel Dezimalzahl: 2569 = 2 · 10 <sup> 3</sup> + 5 · 10 <sup> 2</sup>+ 6 · 10 <sup> 1</sup>+ 9 · 10 <sup> 0</sup> \\  
-Ausgehend von der Stellenwerttafel - der Idee des Dezimalsystems und als Hilfe nehmen wir ein Beispiel, die Zahl 75'302. +Beispiel Binärzahl: 10011010 = 1 · 2 <sup> 7</sup>+1 · 2 <sup> 4</sup>+1 · 2 <sup> 3</sup>+1 · 2 <sup> 1</sup> \\ 
- +
-Hier definiert die Summe jeder Ziffer (in der Zehnerpotenz) mit ihrer jeweiligen Reihenfolge den Wert der Zahl.  +
- +
-Die 7 definiert dabei die Anzahl Zehntausender, die 5 die Anzahl Tausender, die drei die Anzahl Hunderter, die 0 die Anzahl Zehner und die 2 die Anzahl Einer, aus der die Zahl besteht. Diese können wir summieren, um den Zahlenwert zu ermitteln.  +
- +
-Diese Zahl ist also nichts anderes als {{:gf1:summe_beispiel.png?500|}} +
- +
-Diese Idee der Potenzen pro Stelle nehmen wir für das binäre System mit. +
- +
-{{ :gf1:binaerstelle2.png?nolink&350|}} +
-Um den dezimalen Zahlenwert einer binären Zahl zu ermitteln, gibt es zwei verschiedene Vorgehen. Wichtig ist, dass das gewählte Vorgehen gut verstanden ist und dem Anwender vollständig Sinn macht.  +
- +
-Nehmen wir als Beispiel die Dezimalzahl 10111. Wie kann diese in eine Dezimalzahl umgerechnet werden? +
-Nachdem eine Stellenwerttafel mit 2er Potenzen notiert wurde, kann die Zahl eingetragen werden und so ausgerechnet werden. Gleich wie im Dezimalsystem ist am Schluss die Summe der Potenzen die Zahl.+
  
 Somit ist die Zahl **(10111)<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap> = (23)<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>**, was bedeutet die **binäre Zahl 10111** ist gleich der **dezimalen Zahl 23**. Somit ist die Zahl **(10111)<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap> = (23)<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>**, was bedeutet die **binäre Zahl 10111** ist gleich der **dezimalen Zahl 23**.
 +Durch dieses Wissen kann eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umgewandelt werden und umgekehrt. Das folgende Video kann eine Anleitung dazu geben. 
 +{{ youtube>NPqYmPLU-Bo }}
  
-<WRAP center round todo 80%> +<WRAP nicebox green> 
-**Aufgabe 1:** \\+** Auftrag 7:**\\ 
 +Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Diskutieren Sie zu zweit! 
 +  * Aussage 1: "Wenn eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umgewandelt wird, dann hat diese umgewandelte Zahl weniger Ziffern als die ursprüngliche Zahl." 
 +  * Aussage 2: "Wenn eine Binärzahl als rechteste Ziffer eine 1 hat, dann ist dies eine ungerade Zahl im Dezimalsystem." 
 +  * Aussage 3: "Bei der Rechnung 12+13 im Dezimalsystem passiert das Gleiche wie bei der Rechnung 10011+11011 im Binärsystem, es gibt einen Übertrag."  
 +**Auftrag 8:** \\
 Geben Sie die folgenden binären Zahlen als Summe ihrer Zweierpotenzen an und berechnen Sie jeweils ihren dezimalen Zahlenwert! Benützen Sie dabei die korrekte Schreibweise (Notation) für binäre und dezimale Zahlen (z.B. 1001 als (1001)<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>)! Geben Sie die folgenden binären Zahlen als Summe ihrer Zweierpotenzen an und berechnen Sie jeweils ihren dezimalen Zahlenwert! Benützen Sie dabei die korrekte Schreibweise (Notation) für binäre und dezimale Zahlen (z.B. 1001 als (1001)<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>)!
 <list-group> <list-group>
   * 1<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>   * 1<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>
-  * 10<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap> 
-  * 110<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap> 
   * 1101<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>   * 1101<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>
-  * 10110101<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap> +  * 10101<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>
-</list-group> +
-Lösungen:Ein Umrechner samt Erklärung finden Sie [[ https://www.matheretter.de/rechner/zahlenkonverter| hier ]] +
- +
-</WRAP> +
- +
-==== Vom dezimal ins binäre Zahlensystem umrechnen ==== +
-Um den binären Zahlenwert einer dezimalen Zahl zu ermitteln, gibt es zwei verschiedene Vorgehen. Wichtig ist, dass das gewählte Vorgehen gut verstanden ist und dem Anwender vollständig Sinn macht. +
- +
-{{:gf1:dezimal_binaer_b.png?nolink&400 |}} +
-**Erster Weg** \\ +
-Die grundlegende Idee liegt darin, die grösstmögliche Zweierepotenz ("2 hoch etwas") nahe aber kleiner als die gegebene Dezimalzahl zu finden. Danach notiert man die Differenz der beiden Zahlen und sucht von dieser Differenz wieder die grösstmögliche Zweierpotenz, welche noch kleiner als diese Differenz ist und bildet wieder die Differen... +
-Jedesmal, wenn man die Zweierpotenz gefunden hat, schreibt man sich diese raus. +
-Am Schluss können alle rausgeschriebenen Zweierpotenzen in der Stellenwerttabelle durch eine 1 markiert werden und die Binärzahl steht da! \\  +
-**Rezept**\\  +
-//Schritt 1:// Die 2er Potenzen am besten in einer Kolonne - untereinander, notieren und zwar bis zur ersten Zweierpotenz, welche grösser als die gegebene Dezimalzahl ist.\\  +
-//Schritt 2:// Die grösste Zweierpotenz kleiner als die gegebene Dezimalzahl bestimmen und die Differenz der beiden Zahlen bilden.\\  +
-//Schritt 3:// Von dieser Differenz wieder die grösste Zweierpotenz, welche noch grad kleiner ist suchen. Die Differenz der beiden Zahlen bilden ...\\  +
-Die Binäre Zahl ensteht durch die jeweiligen notierten REste. Diese müssen jedoch "von unten nach oben" gelesen werden. +
-\\  +
-{{:gf1:dezimal_binaer_a.png?nolink&450 |}} +
-**Zweiter Weg** \\  +
-Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, muss die Dezimalzahl immer durch die Zahl 2 dividiert und der Rest notiert werden. Da eine Zahl dividiert durch 2 immer nur den Rest 0 oder 1 ergeben kann (da beim Rest 2 der Quotient - das REsultat der Division - um 1 erhöht werden müsste), entsteht daraus die äquivalente Binärzahl. Es wird die umzuwandelnde Zahl grundsätzlich so lange durch 2 geteilt, bis das Ergebnis unter "einem Ganzen" liegt. Wie oft durch zwei dividiert wurde gibt die Anzahl Stellen der Binärzahl an. +
- +
-**Rezept**\\  +
-//Schritt 1:// Die Zahl durch 2 dividieren \\  +
-//Schritt 2:// Den Rest der Division notieren \\  +
-//Schritt 3:// Falls das Ergebnis nicht 0 ist, Schritt 1 und Schritt 2 wiederholen ...\\  +
-Die Binäre Zahl ensteht durch die jeweiligen notierten Reste. Diese müssen jedoch "von unten nach oben" gelesen werden. +
-Die Dezimalzahl **(178)<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>** ist die Zahl **(10110010)<wrap lo><wrap lo>2</wrap></wrap>**! +
- +
-<WRAP center round todo 80%> +
-**Aufgabe 2:** \\ +
- +
-Rechnen Sie die folgenden Zahlen in das binäre Zahlensystem um!  +
-<list-group> +
-  * 7<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>+
   * 8<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>   * 8<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>
   * 12<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>   * 12<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>
-  * 63<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap> +  * 100<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>
-  * 113<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap> +
-  * 255<wrap lo><wrap lo>10</wrap></wrap>+
 </list-group> </list-group>
  
-Lösungen:Ein Umrechner samt Erklärung finden Sie [[ https://www.matheretter.de/rechner/zahlenkonverter| hier ]]+Lösungen: Ein Umrechner samt Erklärung finden Sie [[ https://www.matheretter.de/rechner/zahlenkonverter| hier ]]
  
 </WRAP> </WRAP>
- 
  
  
 <accordion> <accordion>
-<panel title="Lernziele"> +<panel title="Wissensüberprüfung"> 
-**Lernziele** +  * Kann ich erklären, wie man den Zahlenwert einer dezimalen oder auch einer binären Zahl bestimmt (mit der Summe aus 10er Potenzen bzw. 2er Potenzen)? 
-  * Ich kann erklären, wie man den Zahlenwert einer dezimalen Zahl bestimmt (mit der Summe aus 10er Potenzen) +  * Kann ich eine dezimale Zahl ins binäre Zahlensystem umrechnen und umgekehrt und dabei die Korrekte Notation verwenden (z.B. (15)<sub>10</sub> oder (1111)<sub>2</sub>) ? 
-  * Ich kann den Wert einer binären Zahl ins dezimale Zahlensystem umrechnen +  * Kann ich in eigenen Worten die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Zahlensysteme erklären und an Beispielen aufzeigen? 
-  * Ich kann eine dezimale Zahl ins binäre Zahlensystem umrechnen +  * Kann ich überzeugend Darlegen, warum ein Computer (Rechner) im Dualsystem / Binärsystem arbeitet?
-  * Ich verwende dabei eine korrekte Notation, z.B. (15)<sub>10</sub> oder (1111)<sub>2</sub> +
-  * Ich kann in eigenen Worten die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Zahlensysteme erklären und an Beispielen aufzeigen. +
 </panel> </panel>
 </accordion> </accordion>
  
 +<hidden>
 <accordion> <accordion>
 <panel title = "Zusatz: Hexadezimal"> <panel title = "Zusatz: Hexadezimal">
Zeile 102: Zeile 51:
 Es gibt natürlich nicht nur das dezimale und das binäre Zahlensystem. Theoretisch lässt sich zur Basis jeder beliebigen Zahl (ob 10, 2, 8 oder 16) ein Zahlensystem entwickeln. Für die Informatik ist neben den schon gesehenen, vor allem das hexadezimale Zahlensystem von Bedeutung. Es gibt natürlich nicht nur das dezimale und das binäre Zahlensystem. Theoretisch lässt sich zur Basis jeder beliebigen Zahl (ob 10, 2, 8 oder 16) ein Zahlensystem entwickeln. Für die Informatik ist neben den schon gesehenen, vor allem das hexadezimale Zahlensystem von Bedeutung.
 Wie kann eine Umrechung in dieses Zahlensystem vom Dezimalsystem aussehen? Wie kann eine Umrechung in dieses Zahlensystem vom Dezimalsystem aussehen?
-Wie kann eine Umrechung in dieses Zahlensystem vom Dezimalsystem aussehen?+Wie kann eine Umrechnung in dieses Zahlensystem vom Dezimalsystem aussehen?
 Stellen Sie sich Aufgaben und notieren Sie die Regeln und allfällige Erklärungen und Lösungswege. Stellen Sie sich Aufgaben und notieren Sie die Regeln und allfällige Erklärungen und Lösungswege.
 Die Lösungen können [[ https://www.matheretter.de/rechner/zahlenkonverter| hier ]] kontrolliert werden  Die Lösungen können [[ https://www.matheretter.de/rechner/zahlenkonverter| hier ]] kontrolliert werden 
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 </panel> </panel>
 </accordion> </accordion>
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 + 
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  • von marroc