Vom binären ins dezimale Zahlensystem umrechnen und umgekehrt

In diesem Kapitel geht es vor allem darum, zwischen den beiden Zahlensystemen hin und her zu wechseln und genau zu verstehen, warum dies wie genau funktioniert. Es werden verschiedene Vorgehen beschrieben, sodass Sie einen guten eigenen Weg finden, diese Umrechnung (in beide Richtungen) vorzunehmen.

Wenn man sich fragt, wie man eine binäre Zahl in eine dezimale umrechnen kann, muss man sich zunächst vor Augen führen, wie wir den Wert einer dezimalen Zahl definieren. Ausgehend von der Stellenwerttafel - der Idee des Dezimalsystems und als Hilfe nehmen wir ein Beispiel, die Zahl 75'302.

Hier definiert die Summe jeder Ziffer (in der Zehnerpotenz) mit ihrer jeweiligen Reihenfolge den Wert der Zahl. Die 7 definiert dabei die Anzahl Zehntausender, die 5 die Anzahl Tausender, die drei die Anzahl Hunderter, die 0 die Anzahl Zehner und die 2 die Anzahl Einer, aus der die Zahl besteht. Diese können wir summieren, um den Zahlenwert zu ermitteln.

Diese Zahl ist also nichts anderes als

Diese Idee der Potenzen pro Stelle nehmen wir für das binäre System mit. Um den dezimalen Zahlenwert einer binären Zahl zu ermitteln, gibt es zwei verschiedene Vorgehen. Wichtig ist, dass das gewählte Vorgehen gut verstanden ist und dem Anwender vollständig Sinn macht.

Nehmen wir als Beispiel die Dezimalzahl 10111. Wie kann diese in eine Dezimalzahl umgerechnet werden? Nachdem eine Stellenwerttafel mit 2er Potenzen notiert wurde, kann die Zahl eingetragen werden und so ausgerechnet werden. Gleich wie im Dezimalsystem ist am Schluss die Summe der Potenzen die Zahl.

Somit ist die Zahl (10111)2 = (23)10, was bedeutet die binäre Zahl 10111 ist gleich der dezimalen Zahl 23.

Um den binären Zahlenwert einer dezimalen Zahl zu ermitteln, gibt es zwei verschiedene Vorgehen. Wichtig ist, dass das gewählte Vorgehen gut verstanden ist und dem Anwender vollständig Sinn macht.

Erster Weg
Die grundlegende Idee liegt darin, die grösstmögliche Zweierepotenz („2 hoch etwas“) nahe aber kleiner als die gegebene Dezimalzahl zu finden. Danach notiert man die Differenz der beiden Zahlen und sucht von dieser Differenz wieder die grösstmögliche Zweierpotenz, welche noch kleiner als diese Differenz ist und bildet wieder die Differen… Jedesmal, wenn man die Zweierpotenz gefunden hat, schreibt man sich diese raus. Am Schluss können alle rausgeschriebenen Zweierpotenzen in der Stellenwerttabelle durch eine 1 markiert werden und die Binärzahl steht da!
Rezept
Schritt 1: Die 2er Potenzen am besten in einer Kolonne - untereinander, notieren und zwar bis zur ersten Zweierpotenz, welche grösser als die gegebene Dezimalzahl ist.
Schritt 2: Die grösste Zweierpotenz kleiner als die gegebene Dezimalzahl bestimmen und die Differenz der beiden Zahlen bilden.
Schritt 3: Von dieser Differenz wieder die grösste Zweierpotenz, welche noch grad kleiner ist suchen. Die Differenz der beiden Zahlen bilden …
Die Binäre Zahl ensteht durch die jeweiligen notierten REste. Diese müssen jedoch „von unten nach oben“ gelesen werden.

Zweiter Weg
Um eine Dezimalzahl in eine Binärzahl umzuwandeln, muss die Dezimalzahl immer durch die Zahl 2 dividiert und der Rest notiert werden. Da eine Zahl dividiert durch 2 immer nur den Rest 0 oder 1 ergeben kann (da beim Rest 2 der Quotient - das REsultat der Division - um 1 erhöht werden müsste), entsteht daraus die äquivalente Binärzahl. Es wird die umzuwandelnde Zahl grundsätzlich so lange durch 2 geteilt, bis das Ergebnis unter „einem Ganzen“ liegt. Wie oft durch zwei dividiert wurde gibt die Anzahl Stellen der Binärzahl an.

Rezept
Schritt 1: Die Zahl durch 2 dividieren
Schritt 2: Den Rest der Division notieren
Schritt 3: Falls das Ergebnis nicht 0 ist, Schritt 1 und Schritt 2 wiederholen …
Die Binäre Zahl ensteht durch die jeweiligen notierten Reste. Diese müssen jedoch „von unten nach oben“ gelesen werden.

Die Dezimalzahl (178)10 ist die Zahl (10110010)2!